Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Выходные данные сборника:

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В СТОИТЕЛЬСТВЕ

Каверин Александр Владиславович

студент Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М.Т. Калашникова, РФ, Пермский край, г. Чайковский

Е- mail : AleksVKaverin @ yandex . ru

Морозова Амина Рафкатовна

канд. техн. наук, доцент кафедры «Технологии и организация строительного производства» Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М.Т. Калашникова , РФ , Пермский край , г . Чайковский

USING OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS IN THE CONSTRUCTION

Kaverin Aleksandr

student of Chaykovsky

Morozova Amina

candidate of Science, docent of Chaykovsky Institute of Technology (branch) Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Russia, Perm Krai, Chaykovsky

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена необходимость изучения математической статистики и теории вероятности и основные направления применения этих разделов математики в профессиональной деятельности студентов, обучающихся по направлению «Строительство».

ABSTRACT

The need to study of mathematical statistics and probability theory and basic direction of application of these sections of mathematics in professional activities of students enrolled in the direction of the construction were examined.

Ключевые слова: теория вероятности; математическая статистика; статистика в строительстве.

Keywords: probability theory; mathematical statistics; statistics in construction.

Целью дисциплины «Математика» является научить обучающихся математическому подходу к анализу прикладных (экономических) задач, а также математическим методам исследования и решения таких задач. Для каждого направления обучения существуют свои прикладные задачи. Область профессиональной деятельности бакалавров по направлению 08.03.01 «Строительство» включает: инженерные изыскания, проектирование, возведение, эксплуатацию, оценку и реконструкцию зданий и сооружений; инженерное обеспечение и знание оборудования строительных объектов и городских территорий; применение машин, оборудования и технологий для строительства и производства строительных материалов, изделий и конструкций . Поэтому одной из задач изучения дисциплины «Математика» для будущих строителей является - ориентация на использование математических методов при решении прикладных задач, возникающих в их профессиональной деятельности. Наглядные примеры применения математических методов при решении конкретных задач всегда стимулируют интерес у учащихся. Связь абстрактных чисел и решений с конкретной проблемой и реальной задачей доступней для понимания.

Показать возможность применения и необходимость изучения некоторых разделов математики легко без особых затрат времени на объяснения. Например, то, что дифференциальные вычисления используются, для нахождения скорости и ускорения, а интегральные вычисления - для нахождения площадей. Но есть разделы математики, которые изучаются без наглядной демонстрации применения законов и формул в силу отсутствия времени на объяснения, или недостаточного владения учащимися материалом по другим дисциплинам, в которых применение соответствующих математических методов возможно и необходимо. К одному из таких разделов можно отнести теорию вероятности и математическую статистику.

У студентов, обучающихся по специальности «Экономика и управление на предприятии (в строительстве)» есть дисциплина «Математическая статистика». Можно встретить много примеров применения статистических методов в экономике строительного комплекса нашей страны . Поэтому складывается впечатление, что статистика - это прежде всего удел экономистов и управленцев. Для чего же нужна статистика простым строителям? Давайте же разберемся, что это за раздел математики, и как он применяется при решении профессиональной деятельности бакалавров по направлению 270800 «Строительство».

Математическая статистика - это наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика в большинстве своих разделов опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала. Например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления - результаты наблюдений, также основано на методах этого раздела математики - методе теории вероятностей статистических данных.

Первостепенной задачей математической статистики является указание способа сбора и группировки статистических сведений, полученных экспериментальным путём или в результате наблюдений.

Второй задачей математической статистики является разработка методов анализа статистических данных в зависимости от цели исследования. К этому разделу относятся:

а. оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения известного вида; оценка зависимости случайно величины от одной или нескольких случайных величин;

б. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает также способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Студенты, обучающиеся по направлению «Строительство», впервые сталкиваются с упоминанием таких задач при изучении геологии и механики грунтов, когда им рассказывают о камеральной обработке результатов полевых и лабораторных исследований грунтов, то есть о том, как проводят анализ и обработку результатов полевых и лабораторных работ, выделение инженерно-геологических элементов (ИГЭ), построение геологических колонок и разрезов, составление отчетов, включающих в себя выводы и рекомендации по инженерно-геологическим условиями участка проектируемого строительства. От этих результатов будут зависеть вид, размеры, глубина заложения и состав фундамента для строительства на конкретном участке. Именно камеральная обработка результатов полевых и лабораторных исследований позволяет связать проведенные инженерно-геологические работы с последующим строительством и возведением постройки. Поэтому понимание процесса обработки результатов геологического исследования важно для обучающихся и при этом является наглядным отображением применения методов теории вероятности и математической статистики.

В процессе обработки результатов исследуемые грунты предварительно разделяют на ИГЭ с учетом их происхождения, текстурно-структурных особенностей и вида. Характеристики грунтов в каждом предварительно выделенном ИГЭ анализируют с целью установить и исключить значения, резко отличающиеся от большинства значений, если они вызваны ошибками опытов или принадлежат другому ИГЭ. Окончательное выделение ИГЭ проводят на основе оценки характера пространственной изменчивости характеристик грунтов и их коэффициента вариации, а также сравнительного коэффициента вариации . При этом устанавливают, изменяются ли характеристики грунтов в пределах предварительно выделенного ИГЭ случайным образом или имеет место их закономерное изменение в каком-либо направлении. Для анализа используют физические характеристики (удельный и объемный вес, влажность, границу текучести и границу раскатывания глинистого грунта), а при достаточном количестве - и механические характеристики (угол внутреннего трения и удельного сцепления грунтов). Для оценки характера пространственной изменчивости характеристик их значения наносят на инженерно-геологические разрезы в точках определения, строят графики рассеяния, а также графики зондирования. Для выявления закономерного изменения характеристик строят точечные графики изменения их значений по направлению или применяют аппроксимирующие зависимости. Для осуществления всего этого процесса необходимо иметь представление о ряде терминов, положений и методов теории вероятности и математической статистики, таких как доверительный интервал и доверительная вероятность, закон распределения и среднеквадратичное отклонение, аппроксимирующие законы и ряд других понятий.

В последние годы математический аппарат теории вероятностей и математической статистики стал использоваться в методах расчета строительных конструкций. В связи со случайным характером внешних нагрузок и механических свойств материалов, в меньшей степени, но все таки, со случайными отклонениями геометрических параметров конструкций от проектных значений приходится искать пути решения задач расчета строительных конструкций с использованием статистических методов. Возможность достижения одного из предельных состояний здания или сооружения рассматривают как случайное событие, вероятность которого пытаются определить методами соответствующей теории. При этом предельное состояние может быть вызвано: превышением предела упругости в какой-либо точке конструкции, для которой остаточные деформации недопустимы; хрупким разрушением; возникновением слишком больших упругих деформаций. Наступление предельного состояния может включать временную составляющую, например результат постепенного необратимого накопления повреждений: развития усталостной трещины или механического износа, накопления пластических деформаций или деформаций ползучести.

Особое место занимают статистические методы в расчетах на устойчивость и колебания в строительной механике. Неправильность геометрических форм элементов конструкции изначально носит случайный характер. Поэтому при расчете элементов конструкции: стержней, пластин и оболочек устойчивой форме равновесия соответствует максимум вероятности ее реализации, неустойчивой - минимум вероятности. Оценка поведения реальной конструкции с учетом статистических методов, позволяет охарактеризовать её более полно, чем в рамках обычных представлений об устойчивости. Колебательные процессы, возникающие в сооружениях и конструкциях под действием подвижной нагрузки или в результате сейсмической активности можно рассматривать как явления, возникающие с определенной вероятностью. При их математическом моделировании возможно и необходимо учитывать статистические данные и рассматривать сам процесс как случайный. С подобными задачами обычно сталкиваются студенты старших курсов, или обучающиеся в магистратуре, и полноценное владение знаниями соответствующего раздела математики, наглядное представление об их использовании поможет не отпугнуть, а привлечь их к научно-исследовательской работе.

При этом хочется отметить, что главным применением теории вероятности и статистики в строительстве остается сбор и обработка данных. Существует много направлений их использования в данной отрасли. Помимо уже перечисленных стоит отметить статистический контроль качества продукции , который базируется на непостоянности характеристик материалов и готовой продукции, а также параметров технологических процессов. Результаты отдельных исследований и измерений объединяют и используют их совокупности для описания анализа производственного процесса, его оптимизации. Если статистические методы контроля качества включить в систему управления качеством продукции, то они могут значительно повысить его эффективность. При их применении будет накапливаться необходимая информация о степени вариации качества материалов, технологических процессов и готовой продукции, появится возможность уточнить существующие показатели и критерии качества, границы допусков и требования стандартов, что впоследствии позволит составить оптимальные условия изготовления продукции и управления ее качеством.

Другое важное направление использования математической статистики - экономическое. Учитывая, что это направление является важной составляющей развития любой отрасли, в том числе и связанной со строительством, его нельзя не упомянуть, а главное недооценить. Невозможно обойтись без статистики для оценки:

· темпов роста строительной отрасли, развития отдельных регионов, предприятий;

· эффективности использования той или иной технологии или продукции строительного производства;

· перспективы развития или эффективности внедрения мероприятий в строительной отрасли.

Например, в строительной сфере применяются такие методы как статистический контроль ввода в эксплуатацию жилых и производственных помещений , статистическое регулирование процессов строительства и другие методы.

Применение современных вычислительных и программных устройств позволяет существенно сократить процесс сбора и обработки информации, получения аппроксимирующих зависимостей и оценки результатов, позволяет доступно и наглядно продемонстрировать полученные выводы. Поэтому для применения методов теории вероятности и математической статистики в строительстве необходимо только их знание и желание использовать.

Список литературы :

1. ГОСТ Р ИСО 12491-2011. Материалы и изделия в строительстве. Статистические методы контроля качества. М.: Стандартинформ, 2011. - 24 с.
2. ГОСТ 20522-2012. Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний. М.: Стандартинформ, 2013. - 16 с.
3. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 08.03.01 Строительство (уровень бакалавриата) [Текст]: (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации, 2015 г.).
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.: ил.
5. Леднева О.В. Показатели оперативной бизнес статистики в разрезе строительной отрасли России // Экономика. Статистика. Информатика. Вестник УМО. - 2014. - № 3. - С. 145-152.
6. Статистические методы контроля качества продукции. /Л. Ноулер и др.: пер. с англ.-2-е русск. изд.-М.: Издательство стандартов, 1989. - 96 с.: ил.
7. Сивориновский Б.Г., Апарин Н.С., Заварина Е.С. Статистика капитального строительства в исследованиях НИИ Статистики РОССТАТА // Вопросы статистики. - 2013. - № 7. - С. 13-19.

Определение. Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Определение. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном испытании протекает каждый раз по-разному.

Определение. Опыт – деятельность человека или процесс, испытания.

Определение. Событие – результат опыта.

Определение. Предметом теории вероятностей являются случайные явления и специфические закономерности массовых случайных явлений.

Классификация событий:

1. Событие называется достоверным , если в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пример. Школьный урок обязательно закончится.

1. Событие называется невозможным , если при заданных условиях оно никогда не произойдет.

Пример. Если в цепи нет электрического тока, лампа не загорится.

1. Событие называется случайным или невозможным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Пример. Событие – сдать экзамен.

1. Событие называется равновозможным , если условия появления одинаковые и нет основания утверждать, что в результате опыта одно из них имеет шанс появиться больше, чем другое.

Пример. Выпадение герба или решки при броске монеты.

1. События называются совместными , если появление одного из них не исключает возможностей появления другого.

Пример. При выстреле, промах и перелет – события совместные.

1. Событие называется несовместным , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример. При одном выстреле попадание и промах – события не совместные.

1. Два несовместных события называются противоположными , если в результате опыта одно из них обязательно произойдет.

Пример. При сдаче экзамена, события «сдал экзамен» и «не сдал экзамен», называются противоположными.

Обозначение: - нормальное событие, - противоположное событие.

1. Несколько событий образуют полную группу несовместных событий , если в результате опыта наступит только одно из них.

Пример. При сдаче экзамена возможно: «не сдал экзамен», «сдал на «3»», «сдал на «4»», - полная группа несовместных событий.

Правила суммы и произведения.

Определение. Суммой двух произведений a и b называют событие c , которое состоит в появлении события a или события b или обоих одновременно.

Сумму событий называют объединением событий (появление хотя бы одного из событий).

Если в задаче по смыслу очевидно, что должно появиться a ИЛИ b , то говорят, что находят сумму.

Определение. Произведением событий a и b называют событие c , которое состоит в одновременном появлении событий a и b .

Произведением называют пересечение двух событий.

Если в задаче говорят, что находят a И b , значит находят произведение.

Пример. При двух выстрелах:

1. если необходимо найти попадание хотя бы один раз, то находят сумму.
2. если необходимо найти попадание два раза, то находят произведение.

Вероятность. Свойство вероятности.

Определение. Частотой некоторого события называют число равное отношению числа опытов, в котором событие появилось к числу всех произведенных опытов.

Обозначение: r() – частота события .

Пример. Подбрасывая монету 15 раз, и при этом герб выпадет 10 раз, тогда частота появления герба: r()=.

Определение. При бесконечно большом количестве опытов, частота события становится равна вероятности события.

Определение классической вероятности . Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих появлению этого события случаев к числу всех единственно возможных и равновозможных случаев.

Обозначение: , где P – вероятность,

m – число случаев благоприятствующих появлению события .

n – общее число единственно возможных и равновозможных случаев.

Пример . В соревнованиях по бегу принимают участие 60 студентов ЧИЭПа. Каждый имеет номер. Найти вероятность того, что номер студента, выигравшего забег не содержит цифры 5.

Свойства вероятности:

1. значение вероятности не отрицательное и заключено между значениями 0 и 1.
2. вероятность равна 0, тогда и только тогда, когда это вероятность невозможного события.
3. вероятность равна 1, тогда и только тогда, когда это вероятность достоверного события.
4. вероятность одного и того же события неизменно, не зависит от количества проведенных опытов и меняется только тогда, когда изменятся условия проведения опыта.

Определение геометрической вероятности . Геометрической вероятностью называют отношение части области, попадание в которой выбранной точки необходимо найти во всей области, попадание в которой в данной точке равновозможно.

Область может быть мерой площади длины или объема.

Пример. Найти вероятность попадания некоторой точки на участок длиной 10 км, если необходимо, чтобы она попала вблизи концов отрезка, не далее, чем на 1 км от каждого.

Замечание.

Если меры области s и S имеют разные единицы измерения по условию задачи, то для решения необходимо s и S придать единую размерность.

Соединение. Элементы комбинаторики.

Определение. Объединения элементов различных групп, отличающиеся порядком элементов или хотя бы одним элементом называют соединениями.

Соединения бывают:

Размещение

Сочетание

Перестановки

Определение. Размещениями из n – элементов по m раз, называют соединение, отличающееся друг от друга, хотя бы одним элементом и порядком расположения элементов.

Определение. Сочетаниями из n элементов по m, называется соединение, состоящее из одних и тех же элементов, отличающиеся хотя бы одним элементом.

Определение. Перестановками из n элементов, называют соединения, состоящие из одних и тех же элементов, отличающееся друг от друга только порядком расположения элементов.

Пример.

1) сколькими способами можно составить автоколонну из 5 автомобилей.

2) сколькими способами можно назначить в классе 3х дежурных, если всего человек в классе 25.

Так как порядок элементов не важен и группы соединений отличаются количеством элементов, то вычислим число сочетаний из 25 элементов по 3.

способов.

3) Сколькими способами из цифр 1,2,3,4,5,6 можно составить 4х значное число. Следовательно, т.к. соединения отличаются порядком расположения и хотя бы одним элементом, то вычислим размещение из 6 элементов по 4.

Пример на использование элементов комбинаторики, на вычисление вероятности.

В партии из n изделий – m – бракованных. Произвольным образом выбираем l-изделий. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно k – браков.

Пример.

В магазин на склад привезли 10 холодильников из них 4- 3хкамерных, остальные – 2хкамерные.

Найти вероятность того, что среди выбранных произвольным образом 5 холмов – 3 будут 3хкамекрными.

Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема 1.

Вероятность суммы 2х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие.

1) если событие образует полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

2) сумма вероятностей 2х противоположных событий равна 1.

Теорема 2.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению их вероятностей.

Определение. Событие A называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произойдет событие В или нет.

Определение. 2 события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от появления или не появления второго.

Определение. Вероятность события В вычисленное при условии, что событие А имело место, называют условной вероятностью.

Теорема 3.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна вероятности появления одного события на условную вероятность второго при том, что первое событие произошло.

Пример.

В библиотеке имеется 12 учебников по математике. Из них, 2 учебника по элементарной математике, 5 – по теории вероятностей, остальные – по высшей математике. Выбираем произвольным образом 2 учебника. Найти вероятность того, что они оба поп элементарной математике.

Теорема 4. Вероятность появления события хотя бы 1 раз.

Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную группу несовместных событий равно разности между первым и произведением вероятностей противоположных данным событий.

Пусть тогда

Следствие.

Если вероятность появления каждого из события , одинакова и равна p, тогда вероятность того, что появится хотя бы одно из данных событий, равно

N – количество произведенных опытов.

Пример.

Производят 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,7 , при втором – 0,8 , при третьем – 0,9. найти вероятность того, что при трех независимых выстрелах в мишень будет:

А) 0 попаданий;

Б) 1 попадание;

В) 2 попадания;

Г) 3 попадания;

Д) хотя бы одно попадание.

Теорема 5. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может появиться совместно с одной из гипотез , тогда вероятность того, что событие А произошло, находят по формуле:

и . Приводим к общему знаменателю.

Т.о. выиграть одну партию из 2х у равносильного противника вероятнее, чем выиграть 2 партии из 4х.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Факультет: Финансы и кредит

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»

Студентка: Коханская Е.Ю.

Курс: 2 № группы: ЗСПЗ-ЭК201

Преподаватель: Бутковский О.Я.

Владимир 2014

1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов.

Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.

Испытание (опыт) заключается в выборе наудачу 3 приборов со склада, на котором имеется 20 приборов (из которых 18 исправны и 2 неисправны).

Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из трёх приборов.

Пусть событие А заключается в том, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.

Число исходов, благоприятствующих появлению события А (выбор трёх исправных приборов из):

Ответ: вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными, равна 0,716.

2. В типографии имеется пять плоскопечатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9.

Найти вероятность того, что в данный момент работает:

а) две машины;

б) хотя бы одна машина

а) Р=0.9 - вероятность того, что 1 машина работает

т.е. вероятноcть работы 2 машин: p = 0,9*0,9=0,81 => 81%

б) Так как события «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) противоположные, то сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Искомая вероятность

Р(А)= 1- q5=1-(0,1)5=1- 0,00001=0,99999=99%

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то, на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий, мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Ответ: а) вероятность того, что в данный момент работает две машины = 81%

б) вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина= 99 %

3. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.

а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.

В этой задаче мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в исследовании качества выпущенного телевизора. Число испытаний в нашем случае.

Событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества.

а) Вычислить искомую вероятность появления события ровно 300 раз в 400 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Муавра - Лапласа.

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа: если вероятность наступления события в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность вычисляется по приближённой формуле

Где - вероятность наступления события в каждом из испытаний,

Вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,

Функция Гаусса.

Итак, событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества; вероятность наступления события в каждом из испытаний; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний; число испытаний.

Значит вероятность того, что из 400 выпущенных телевизоров 300 высшего качества:

По таблице значений функции Гаусса находим: .

Следовательно, .

б) Воспользуемся следствием интегральной теоремы Муавра - Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность заданного отклонения относительной частоты (частости) появления события А от его вероятности вычисляется по приближённой формуле

Где р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний,

q - вероятность ненаступления события А в каждом из испытаний,

п - число испытаний, - заданное отклонение.

Функция Лапласа.

вероятность случайный величина ожидание

В нашем случае; ; число испытаний.

Найдём отклонение, при котором, то есть в силу следствия интегральной теоремы Муавра - Лапласа

Итак, найдём из выражения

По таблице значений функции Лапласа находим: .

Следовательно

Значит с вероятностью 0,9907 можно ожидать отклонение относительной частоты появления события от.

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества: .

Другими словами, с вероятностью 0,9907 доля телевизоров высшего качества составляет от 74,8 % до 85,2 %.

Ответ: а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества равна 0,0022;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества от 74,8% до 85,2%.

4. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали. Составить закон распределения случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Дискретная случайная величина - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет следующие возможные значения: , .

Найдём вероятности, этих возможных значений.

Искомый закон распределения дискретной случайной величины, соответственно, будет иметь вид:

Испытание (опыт) заключается в случайном выборе двух деталей из партии, содержащей 8 деталей (6 стандартных и 2 нестандартных).

Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из 2 деталей.

Число всех возможных исходов испытания:

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 0 стандартных и 2 нестандартных):

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 1 стандартная и 1 нестандартная):

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 2 стандартных и 0 нестандартных):

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

Сумма вероятностей

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Найдём математическое ожидание и функцию распределения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины:

Дисперсия дискретной случайной величины Х:

Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) случайной величины задаётся формулой.

При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:

a) для, так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события (в частности для);

b) для (в частности для);

c) для (в частности для);

Обобщая полученные данные, можно записать:

Ответ: ; ; ;

1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.

а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,98.

а) Выберем число больничных, в каждом из интервалов (середина интервала). В начальном интервале примем значение 2 дня. В конечном 12 дней, в прочих середину интервала.

Выборочная средняя равна:

Выборочная дисперсия:

найдём значение t из соотношения

Значения Ф(t) взяты из соответствующих таблиц.

б) В выборке доля таких сотрудников равна:

Полагая генеральную совокупность много большей, по сравнению с 100 имеем для требуемой величины:

Тогда искомые границы:

в) Объём для данного вида выборки и данной вероятности (t=2,33):

Ответ: а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день, равна 0,999;

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней от 47,3% до 66,7%;

в) объем бесповторной выборки с вероятностью 0,98 равен 141сотруднику.

3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице.

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние, построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости? = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов.

1). Вычислим групповые средние значения:

В таблице записана функциональная зависимость между и xi, или корреляционная зависимость у по х.

Построим эмпирические линии регрессии:

2). Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найдем уравнения прямых регрессии.

Случайная величина Х - содержание нефтешламов, %

Случайная величина Y - содержание водопоглащения, %.

Найдем ковариацию:

Вычислим коэффициент регрессии у по х и составим уравнение этой зависимости:

у = 1,117 х + 8,792

Вычислим коэффициент регрессии х по у и составим уравнение соответствующей зависимости:

х = 0,797 у -3,744

Построим графики прямых регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:

б) Вычислим коэффициент корреляции:

Т.е. связь между переменными Х и Y (степенью автоматизации производства и ростом производительности труда) прямая, тесная.

Оценим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента:

Расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного

tтабл.(?=0,05; k=108) = 1,6591, следовательно коэффициент корреляции является значимым.

в) Определим, используя уравнение регрессии у по х, средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов:

у = 1,117 *35 + 8,792=47,887

Т.е. средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов, составит 47,9%.

Размещено на Allbest.ur

...

Подобные документы

Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.

реферат , добавлен 25.10.2015


Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

контрольная работа , добавлен 24.01.2013


Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.

контрольная работа , добавлен 03.01.2012


Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.

контрольная работа , добавлен 26.02.2012


Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.

контрольная работа , добавлен 29.01.2014


Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.

реферат , добавлен 03.12.2007


Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.

лекция , добавлен 17.12.2010


Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.

контрольная работа , добавлен 07.09.2010


Понятие и сущность многомерной случайной величины, ее отличие от одномерной и применение для решения статистических задач. Особенности условной вероятности, расчет и определение суммы всех вероятностей. Математический закон распределения событий.

презентация , добавлен 01.11.2013


Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.

Неволина Екатерина Николаевна Екатеринбург УрГЭУ Руководитель – Кныш А. А. Практическое применение теории вероятностей. Актуальность. Теория вероятностей является одним из разделов математики, изучающим случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы теории вероятностей все шире находят свое применение в различных областях науки и техники, а также в обычной жизни. Особенность данного раздела науки заключается в рассмотрении таких явлений, в которых присутствует неопределенность. В статье мне бы хотелось рассмотреть примеры некоторых задач, демонстрирующих практическое применение теории вероятностей. Задачи с экономическим содержанием. 1. Одна из фирм собирается заключить контракт на поставку товара с сетью магазинов. При условии, что конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, вероятность заключения контракта оценивается в 0,85, В противном случае вероятность получения контракта составляет 0,6. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,55. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы? . Данная задача решается с помощью формулы полной вероятности. 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,2; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,65, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,35, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме? . Задача решается с помощью формулы Байеса. 3. Банк выдаёт 9 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого заёмщика. Какова вероятность того, что трое заёмщиков не выплатят кредит? Задача решается с помощью формулы Бернулли. 5. Деталь считается годной при отклонении Х линейного размера в абсолютном выражении меньше 1 мм. Отклонение Х является величиной, распределенной по нормальному закону, со среднем квадратическим отклонением   0.35 . Найти количество бракованных деталей в одной партии произведенных деталей (размер партии 1000 шт.), стоимость потерь от брака при себестоимости партии 15 млн. руб., доход от реализации оставшихся годных деталей и экономические потери при рыночной цене 19 000 руб. за единицу продукции . Рассмотрим решение данной задачи. Т.к. Х – отклонение линейного размера в абсолютном выражении, то математическое ожидание М(Х)=а=0. Подставив в формулу  P  X     2      значения    0.35 и   1, получим P X  1  0,9956. Таким образом, в партии из 1000 деталей годными будут 995 деталей. При себестоимости партии 15 млн. руб. себестоимость каждой детали составит в среднем 15 000 руб. Стоимость потерь от брака составят 75000 рублей. Доход от реализации годных деталей по рыночной цене составит 995∙19000 =18,905 млн. руб. В связи с невозможностью реализовать часть продукции экономические потери составят 5∙19000=95000 руб. Методы теории вероятностей также используются в ставках на спорт. С помощью теории вероятностей стало возможным предугадывать и оценивать исходы различных матчей, а также выявлять продуктивность отдельно взятого игрока. Так, например, если мы рассматриваем баскетбол, то в качестве продуктивности игрока можно рассматривать вероятность его попадания в кольцо с различных точек. Приведем примеры задач. 1. На соревнованиях по баскетболу центровой игрок команды «N» бросает мяч в кольцо. За каждый забитый мяч команда получает 2 очка. Найти вероятность того, что за данный бросок центровым команда не получит ни одного очка (0 очков полагается лишь за промах). 2. Две равносильные баскетбольные команды играют в баскетбол. Что вероятнее: вести счет одну четверть из двух или две четверти из четырех (равный счет во внимание не принимается)? Данная задача решается с помощью формулы Бернулли. Итак, нахождение закономерностей в случайных явлениях - это задача теорий вероятности. Теория вероятности - это инструмент для изучения не видимых и многозначных взаимосвязей разных явлений во многочисленных областях науки, техники и экономики. Теория вероятности дает возможность правильно посчитать колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Теория вероятности есть часть базовой науки как статистика и прикладная информатика. Так как без теории вероятностей не может работать не одна прикладная программа, и компьютер в целом. И в теории игр она тоже является основной . Список использованных источников: 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей [Электрон. ресурс] : Учеб. пособие. – Москва. – Высшая школа, 1999. – 576 c. – Режим доступа: http://sernam.ru/book_tp.php 2. Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине «Математика» [Электрон. ресурс]. – Мончегорск, 2013. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/3829108/ 3. Хуснутдинов, Р. Ш. Математика для экономистов в примерах и задачах [Электрон. ресурс] : учеб. пособие / Р. Ш. Хуснутдинов, В. А. Жихарев. – Санкт-Петербург: Лань, 2012. - 656 с. - Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/4233

Начать по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей - ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме - диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. В последние годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться.

Статистические представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Появление радиофизики и изучение вопросов передачи радио сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели к прогрессу самой математической науки - появлению теории информации.

Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими.

Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.

Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.

Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют вероятностно-статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.

Гуманитарные науки объединяют очень разнообразные по характеру дисциплины - от языкознания и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке древнего иероглифического письма, являются в основе своей статистическими. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману "Тихий Дон" было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке.

Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарата. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.

Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.

Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение урожайности - вот далеко не полный список задач, решаемых статистическими методами.

Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь. В известном сочинении поэта-материалиста Лукреция Кара "О природе вещей" имеется яркое и поэтическое описание явления броуновского движения пылинок:

"Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает В наши жилища и мрак прорезает своими лучами, Множества маленьких тел в пустоте, ты увидишь, мелькая, Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света; Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и битвах. В схватки бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя. Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь. Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся. Так о великих вещах помогают составить понятье Малые вещи, пути намечая для из достиженья, Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете, Что из нее познаешь ты материи также движенье"

Первая возможность экспериментального исследования соотношений между беспорядочным движением отдельных частиц и закономерным движением их больших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо "броуновским движением". Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивлению он обнаружил, что взвешенные в воде частицы находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить при самом тщательном старании устранить какие либо внешние воздействия. Вскоре было обнаружено, что это общее свойство любых достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Броуновское движение - классический пример случайного процесса.