Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

• a и b – катеты, образующие прямой угол.
• с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

• a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
• b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
• c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

• p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
• r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал:

Цели урока:

Образовательная: сформулировать и доказать теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора. Показать их историческое и практическое значение.

Развивающая: развивать внимание, память, логическое мышление учащихся, умение рассуждать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывающая: воспитывать интерес и любовь к предмету, аккуратность, умение слушать товарищей и учителя.

Оборудование: Портрет Пифагора, плакаты с задачами для закрепления, учебник “Геометрия” 7-9 классы (И.Ф. Шарыгин).

План урока:

I. Организационный момент – 1 мин.

II. Проверка домашнего задания – 7 мин.

III. Вступительное слово учителя, историческая справка – 4-5 мин.

IV. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора – 7 мин.

V. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора – 5 мин.

Закрепление нового материала:

а) устное – 5-6 мин.
б) письменное – 7-10 мин.

VII. Домашнее задание – 1 мин.

VIII. Подведение итогов урока – 3 мин.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

п.7.1, № 3 (у доски по готовому чертежу).

Условие: Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 2. Найдите катеты этого треугольника.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = h C

Дополнительный вопрос: записать соотношения в прямоугольном треугольнике.

п.7.1, № 5. Разрежьте прямоугольный треугольник на три подобных между собой треугольника.

Объясните.

АСН ~ АВС ~ СВН

(обратить внимание учащихся на правильность записи соответственных вершин подобных треугольников)

Пребудет вечной истина, как скоро её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далекий век.

Не случайно я начала свой урок со слов немецкого писателя-романиста Шамиссо. Наш урок сегодня посвящен теореме Пифагора. Запишем тему урока.

Перед вами портрет великого Пифагора. Родился в 576 году до нашей эры. Прожив 80 лет, умер в 496 году до нашей эры. Известен как древнегреческий философ и педагог. Был сыном торговца Мнесарха, который брал его часто в свои поездки, благодаря которым у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Пифагор – это прозвище, данное ему за красноречие (“Пифагор” - значит “убеждающий речью”). Сам он ничего не писал. Все его мысли записывали его ученики. В результате первой же прочитанной лекции, Пифагор приобрел 2000 учеников, которые вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное “Великая Греция”, в основу которого положены законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Был склонен к мистификации и демонстративности в поведении. Однажды Пифагор спрятался под землей, а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом, иссохший как скелет, он заявил в народном собрании, что был в Аиде, и показал удивительную осведомленность о земных событиях. За это растроганные жители признали его Богом. Пифагор никогда не плакал и вообще был недоступен страстям и волнению. Считал, что он происходит из семени, лучшего сравнительно с человеческим. Вся жизнь Пифагора – легенда, дошедшая до нашего времени и рассказавшая нам о талантливейшем человеке древнего мира.

Формулировка теоремы Пифагора известна вам с курса алгебры. Давайте вспомним её.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Однако эту теорему знали за много лет до Пифагора. За 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружении зданий. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении “Чжиу-би”, написанным за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Ещё раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора. Их известно более полутора сотен. Давайте вспомним алгебраическое доказательство теоремы Пифагора, известное нам из курса алгебры. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных” Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г).

Предложить учащимся вспомнить доказательство к чертежу и записать его на доске.

(а + b) 2 = 4· 1/2 а * b + с 2 b а

а 2 + 2а * b + b 2 = 2а * b + с 2

а 2 + b 2 = с 2 а а b

Древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: “Смотри”.

Рассмотрим в современном изложении одно из доказательств, принадлежащих Пифагору. Вначале урока мы вспомнили теорему о соотношениях в прямоугольном треугольнике:

h 2 = а 1* b 1 а 2 = а 1* с b 2 = b 1* с

Сложим почленно последних два равенства:

b 2 + а 2 = b 1* с + а 1* с = (b 1 + а 1) * с 1 = с * с = с 2 ; а 2 + b 2 = с 2

Несмотря на кажущуюся простоту этого доказательства, оно далеко не самое простое. Ведь для этого нужно было провести высоту в прямоугольном треугольнике и рассмотреть подобные треугольники. Запишите, пожалуйста, это доказательство в тетради.

А какая теорема называется обратной к данной? (…если условие и заключение меняются местами.)

Давайте теперь попробуем сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

Если в треугольнике со сторонами а, b и с выполняется равенство с 2 = а 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне с.

(Доказательство обратной теоремы на плакате)

АВС, ВС = а,

АС = b, ВА = с.

а 2 + b 2 = с 2

Доказать:

АВС – прямоугольный,

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 В 1 С 1,

где С 1 = 90° , А 1 С 1 = а, А 1 С 1 = b.

Тогда по теореме Пифагора В 1 А 1 2 = а 2 + b 2 = с 2 .

То есть В 1 А 1 = с А 1 В 1 С 1 = АВС по трем сторонам АВС - прямоугольный

С = 90° , что и требовалось доказать.

1. По плакату с готовыми чертежами.

Рис.1: найдите АD, если ВD = 8, ВDА = 30°.

Рис.2: найдите CD, если ВЕ = 5, ВАЕ = 45°.

Рис.3: найдите ВD, если ВС = 17, АD = 16.

2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

Как называются тройки чисел в двух последних случаях? (Пифагоровы).

№ 9. Сторона равностороннего треугольника равна а. Найдите высоту этого треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.

№ 14. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен медиане, проведенной к гипотенузе, и равен половине гипотенузы.

Пункт 7.1, стр. 175-177, разобрать теорему 7.4 (обобщенная теорема Пифагора), № 1(устно), № 2, № 4.

Что нового вы узнали сегодня на уроке? …………

Пифагор прежде всего был философом. Вот сейчас хочу вам прочитать несколько его изречений, актуальных и в наше время для нас с вами.

• Не поднимай пыли на жизненном пути.
• Делай лишь то, что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
• Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
• Приучайся жить просто и без роскоши.

Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора.

Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Формула Герона

Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона александрийского - древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a , b , c , вычисляется по формуле S=, где p - полупериметр треугольника.

Доказательство.

Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Углы А и В, острые. СН - высота.

Доказать:

Доказательсво:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2 , откуда

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2 , или (y - x) (y + x) = b 2 - a 2 , а так как y + x = c, то y- x = (b2 - a2).

Складывая два последних равенства, п олучаем:

2y = +c, откуда

y=,и, значит, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника .

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

треугольник прямоугольный.

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений ).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H .

Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения:

получаем:

,

что соответствует -

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

​

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим:

Рассмотрение тем школьной программы с помощью видеоуроков является удобным способом изучения и усвоения материала. Видео помогает сконцентрировать внимание учащихся на основных теоретических положениях и не упускать важных деталей. При необходимости школьники всегда могут прослушать видеоурок повторно или вернуться на несколько тем назад.

Данный видеоурок для 8-го класса поможет учащимся изучить новую тему по геометрии.

В предыдущей теме мы изучили теорему Пифагора и разобрали ее доказательство.

Существует также теорема, которая известна как обратная теорема Пифагора. Рассмотрим ее подробнее.

Теорема. Треугольник является прямоугольным, если в нем выполняется равенство: значение одной стороны треугольника, возведенной в квадрат, такое же, как сумма возведенных в квадрат двух других сторон.

Доказательство. Допустим, нам дан треугольник ABC, в котором выполняется равенство AB 2 = CA 2 + CB 2 . Необходимо доказать, что угол С равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник A 1 B 1 C 1 , в котором угол С 1 равен 90 градусов, сторона C 1 A 1 равна CA и сторона B 1 C 1 равна BС.

Применяя теорему Пифагора, запишем отношение сторон в треугольнике A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Произведя замену в выражении на равные стороны, получим A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Из условий теоремы мы знаем, что AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогда можем записать A 1 B 1 2 = AB 2 , из чего следует, что A 1 B 1 = AB.

Мы нашли, что в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны три стороны: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Значит, эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что угол С равен углу С 1 и соответственно равен 90 градусов. Мы определили, что треугольник ABC прямоугольный и его угол С равен 90 градусов. Мы доказали данную теорему.

Далее автор приводит пример. Допустим, дан произвольный треугольник. Известны размеры его сторон: 5, 4 и 3 единиц. Проверим утверждение из теоремы, обратной теореме Пифагора: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Утверждение верно, значит данный треугольник прямоугольный.

В следующих примерах треугольники также будут прямоугольными, если их стороны равны:

5, 12, 13 единиц; равенство 13 2 = 5 2 + 12 2 является верным;

8, 15, 17 единиц; равенство 17 2 = 8 2 + 15 2 является верным;

7, 24, 25 единиц; равенство 25 2 = 7 2 + 24 2 является верным.

Известно понятие пифагорового треугольника. Это прямоугольный треугольник, у которого значения сторон равны целым числам. Если катеты пифагорового треугольника обозначить через a и c, а гипотенузу b, то значения сторон этого треугольника можно записать с помощью следующих формул:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

где m, n, k- любые натуральные числа, причем значение m больше значения n.

Интересный факт: треугольник со сторонами 5, 4 и 3 называют также египетским треугольником, такой треугольник был известен еще в Древнем Египте.

В данном видеоуроке мы ознакомились с теоремой, обратной теореме Пифагора. Подробно рассмотрели доказательство. Также учащиеся узнали, какие треугольники называют пифагоровыми.

Учащиеся с легкостью могут ознакомиться с темой «Теорема, обратная теореме Пифагора» самостоятельно с помощью данного видеоурока.